TEMA 1 - TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

¡HOLA, Pitagóricos!, hoy en clase hemos visto las traslaciones, los giros, las diferentes simetrías y las homotecias. 

Os dejo por aquí las definiciones de cada una de ellas, pero acordaros que las tenéis en el libro también😉.

TRASLACIONES

Todos los puntos del plano, es decir, la figura geométrica se moverá en la misma dirección, sentido y a la misma distancia.

Material manipulativo

El tangram tiene muchas posibilidades para hacer figuras geométricas, en este caso se ha realizado un ejemplo de una jirafa para que lo veáis y también se ha hecho una traslación de 20 cm con esa jirafa.😉

        

También os dejo algunos ejemplos de cómo sería si la viésemos a 45º, 90º en sentido horario y antihorario. 
El sentido horario es moverla hacía las agujas del reloj y ¿el sentido antihorario?
Claramente, es mover la traslación al contrario de las agujas del reloj, ¿os acordabais de esto?

SENTIDO ANTIHORARIO

SENTIDO HORARIO

SENTIDO ANTIHORARIO

Youtube

Os dejo un vídeo explicativo de como realizar las traslaciones. Aquí os dejo el enlace:

Traslación de una figura (Transformaciones geométricas: Igualdad)

GeoGebra

Aquí podéis ver un ejemplo de una traslación realizadas con GeoGebra:

Audio

Por aquí os dejo las figuras hechas hoy en clase resultas y con un audio explicativo de como se ha realizado. 

Ejercicio 1. Realiza la traslación de la figura. 

Audio Traslación.

GIROS

Consiste en girar todos los puntos de las figuras geométricas alrededor de un punto que está fijo, llamado "centro de giro" y respetando el sentido del giro, que como hemos visto en las traslaciones, puede ser horario o antihorario. 

Material manipulativo

Hoy en clase se han realizado giros en sentido horario y antihorario.

Para eso se ha realizado dos triángulos iguales en papel y se ha elegido la letra que se le pone a cada arista, en uno de los triángulos es A, B y C y en el otro triángulo se ha puesto A', B' y C'.

 
Se han realizado varios giros, tres ejemplos son los siguientes:

GIRO 1: 45º en sentido antihorario.

GIRO 2: 90º en sentido horario. 

GIRO 3: 90º en sentido antihorario.

Youtube

Os dejo un vídeo explicativo de como realizar los giros. Aquí os dejo el enlace:

Giro de una figura (Transformaciones geométricas: Igualdad)

GeoGebra

Después de realizar los giros en sentido horario y antihorario en papel, se han realizado estos mismos triángulos en GeoGebra. GeoGebra, es un software matemático dinámico para todos los niveles educativos que reúne geometría, álgebra, hojas de cálculo, gráficas, estadísticas...

Actividad 1: Realizar una traslación de 90º en sentido horario

Actividad 2: Realizar una traslación de 90º en sentido antihorario.

Actividad 3: Realizar una traslación de 45º en sentido antihorario.

Audio

Os dejo la solución en forma de audio a algunos de los ejercicios vistos en clase con los pasos a seguir para los que aún les cuesta un poco😉. 

No os preocupéis porque es muy sencillo. 

Necesitáis compás, escuadra, cartabón y un lápiz.

Ejercicios de giros:

Actividad 1. Realiza un giro en sentido antihorario del siguiente sector circular, tomando como centro de giro el punto D y ángulo de giro el ángulo α.

Audio Giro ¨Actividad 1¨.

Actividad 2. Realiza un giro del siguiente triángulo tomando como ángulo de giro el ángulo α. Escoge un punto del plano para el centro de giro y un sentido de giro.

Audio Giro ¨Actividad 2¨.

SIMETRÍAS

Como se ha visto en clase hay dos diferentes tipos de simetrías:

Axial: fenómeno en el cual los puntos de una figura coinciden con los puntos de otra respecto a una línea conocida como eje de simetría.

Simetría axial: para este ejercicio realizaremos:

Tomaremos la referencia de la línea central del plano y pincharemos con el compás ahí, mientras que con la punta de lápiz del compás mediremos hasta uno de los puntos de la figura,

Giraremos el compás sin levantarlo en la parte de arriba y trazaremos una línea en la parte de la derecha tomando la distancia cogida.

Hacemos lo mismo con el resto de puntos.

Unimos los puntos de la figura.

Central: fenómeno en el cual los puntos de una figura coinciden con los puntos de otra respecto a un punto central del plano o punto O. 

Simetría central: para realizar esta simetría seguiremos los siguientes pasos:

Tomaremos la referencia del punto central O del plano y pincharemos con el compás ahí, mientras que con la punta de lápiz del compás mediremos hasta uno de los puntos de la figura,

Giraremos el compás sin levantarlo en la parte de arriba y trazaremos una línea.

Hacemos lo mismo con el resto de puntos.

Unimos los puntos de la figura.

Material manipulativo

¿Cómo lleváis las teselaciones y las simetrías? Como sé que es un poco complicado de ver he realizado algunas teselaciones con piezas de tangram y un espejo pequeño, las fotos están tomadas desde arriba, igualmente se puede apreciar la figura que se forma, como si fuera un mandala. 

SIMETRÍAS

(No se tiene el cuenta el borde del espejo).

Cogemos el trapecio y colocamos uno de sus vértices frente al espejo y obtenemos una forma de molinillo.

Formamos un rombo con varias piezas del tangram, y obtenemos un rombo simétrico de mayor tamaño.

Un cuadrado formado con 3 piezas. Hacemos lo mismo que en los casos anteriores.  

Con un triángulo pequeño, uno grande y el trapecio formamos una flecha grande que reflejada en el espejo forma una simetría como las aspas de un molino.

Es una simetría de dos pares de triángulos de distinto tamaño que reflejados en el espejo forman a su vez otra simetría.

TESELACIONES

Con dos triángulos y el trapecio formamos una forma de flecha y obtenemos una teselación en forma de estrella.

Youtube

Por aquí os dejo un vídeo de simetría axial y central, para aquellos que no lo tienen todavía muy claro. 😀

Os comparto algunos enlaces de vídeo de teselaciones:

Echadle un vistazo, se pueden realizar teselaciones de formas muy distintas, hasta con objetos de la vida cotidiana!😄🙋

GeoGebra

Por aquí os dejo simetría central y axial hecha con esta aplicación.

Simetría central: para realizar esta simetría seguiremos los siguientes pasos:

1. Tomaremos la referencia del punto central O del plano y pincharemos con el compás ahí, mientras que con la punta de lápiz del compás mediremos hasta uno de los puntos de la figura,
2. Giraremos el compás sin levantarlo en la parte de arriba y trazaremos una línea.
3. Hacemos lo mismo con el resto de puntos.
4. Unimos los puntos de la figura.

Simetría axial: para este ejercicio realizaremos:

1. Tomaremos la referencia de la línea central del plano y pincharemos con el compás ahí, mientras que con la punta de lápiz del compás mediremos hasta uno de los puntos de la figura,
2. Giraremos el compás sin levantarlo en la parte de arriba y trazaremos una línea en la parte de la derecha tomando la distancia cogida.
3. Hacemos lo mismo con el resto de puntos.
4. Unimos los puntos de la figura.

Audio

Hoy en clase hemos visto las simetrías centrales y hemos hecho estos ejercicios, para quien no le haya quedado claro os pongo por aquí el ejercicio y debajo os explico paso a paso lo que hemos hecho.

Ejercicio. Encuentra la imagen de cada figura al aplicar una simetría central tomando como centro de simetría el punto externo a la figura dibujado:

Audio Simetría central.

HOMOTECIAS

Material manipulativo

Con dos triángulos formamos un cuadrado en el espejo, posteriormente cogemos un cuadrado del tangram y comprobamos la homotecia representada.

Buscar en la naturaleza homotecias, vemos en esta foto de dos hojas que encontramos por los jardines, como se puede observar en estas hojas, una es más grande que otra, pero son iguales en su forma, si sólo fuesen iguales, sería una simetría, pero como cambian el tamaño, a esto se le conoce como homotecia. 

¡Así que en esta foto encontramos una homotecia!

Youtube

Os dejamos un vídeo explicativo de cómo realizar las homotecias. Aquí os dejo el enlace:

Homotecia dada la razón

GeoGebra

Hemos realizado actividades como esta en GeoGebra:

Audio

Ejercicio. Realiza las siguientes homotecias sobre los triángulos dados con centro de homotecia H y constante de homotecia indicada:

Audio Homotecia

RECURSOS EXTRAS

Os dejo un vídeo por si queréis hacer diferentes figuras:

Para los que aún no tenéis un tangram, os comparto un vídeo sencillo de cómo hacerlo con un folio:

 

Itinerario de figuras simétricas de la vida cotidiana.

¿Sabéis que es un itinerario?

Es muy fácil, es una ruta, un camino que sigues para llegar a un lugar.        Ejemplo: Del cole a casa.                                                                                      Pues nuestro itinerario es en la Universidad Rey Juan Carlos y es desde el Aulario II, hasta la cafetería. 

Lo primero que vimos nada más salir por la puerta fue esto, ¡una simetría axial! Se puede ver la simetría con las dos ventanas del Aulario II. ¿No es increíble?

Aquí os dejamos la foto anterior editada, para que podáis ver mejor la simetría con las ventanas:

Después observando esta simetría, en la esquina del edificio vimos una cámara y nos fijamos mucho en ella y vimos dos cosas más.

Una traslación, ¿veis los dos paneles blancos que están sujetos por 4 tornillos? Pues a eso se le llama traslación, porque si primero miramos uno y olvidamos el otro y luego hacemos esto pero al revés, se puede observar que hay un desplazamiento, ya que uno de los paneles está en una pared y el otro en la pared contigua, en la pared de al lado.

Y lo otro que podemos observar es un giro, porque si nos fijamos en la cámara y luego vemos su sombra, se puede ver que esto se ha producido gracias a un giro que no llega a ser de 90º en sentido antihorario, ¡es como si cogiésemos esa cámara y la pusiésemos boca abajo!

En esta siguiente foto podemos ver simetría central, ¿qué diferencia hay con la otra simetría? Pues es muy fácil en la simetría anterior vemos dos objetos que son idénticos y en cambio en la simetría central, es una simetría que tiene un punto de origen, en este caso es el tallo de la hoja que no se puede apreciar en la foto, pero todos sabéis que está ahí y de ese punto central, sale esa planta amarilla (tulipán) que si la observáis bien es totalmente idéntica en todos sus pétalos. 

Y finalmente, vemos esta foto de dos hojas que encontramos por los jardines al igual que el tulipán, como se puede observar en estas hojas, una es más grande que otra, pero son iguales en su forma, si sólo fuesen iguales, sería una simetría, pero como cambian el tamaño, a esto se le conoce como homotecia. 

¡Así que en esta foto encontramos una homotecia!

Esto es todo por hoy, ¡Qué tengáis un bonito día matemático!